Nous savons depuis toujours que le monde est une grande énigme, et qui dit énigme dit aussi que chacun a le droit d'essayer de la résoudre à sa manière.
Jostein Gaarder
Les mathématiques regorgent de défis intellectuels qui ont résisté même aux plus grands esprits. Parmi eux, sept problèmes, connus sous le nom de problèmes du millénaire, restent à ce jour sans solution. Leur résolution est non seulement une quête académique, mais elle est également récompensée par des prix prestigieux.
Superprof vous livre la liste des problèmes jamais résolus en mathématiques, et espère que vous rentrerez un jour dans la fabuleuse histoire des mathématiques en parvenant à les résoudre !
| Numéro | Problème | Description | Domaine | Origine |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Hypothèse de Riemann | Concerne la distribution des nombres premiers via les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. | Théorie des nombres, cryptographie | Bernhard Riemann (1859) |
| 2 | Conjecture de Hodge | Lien entre la topologie et la géométrie algébrique des variétés projectives complexes. | Géométrie algébrique, topologie | W. V. D. Hodge (années 1930–1940) |
| 3 | Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer | Relation entre les courbes elliptiques et le comportement de leur fonction L en s = 1. | Théorie des nombres, équations diophantiennes | Birch & Swinnerton-Dyer (années 1960) |
| 4 | Equations de Navier-Stokes | Décrit le mouvement des fluides et l’existence de solutions régulières en dimension 3. | Analyse mathématique, mécanique des fluides | Claude-Louis Navier & George Stokes (XIXe siècle) |
| 5 | Equations de Yang-Mills | Fondements mathématiques des théories de jauge en physique quantique. | Physique mathématique | Chen-Ning Yang & Robert Mills (1954) |
| 6 | P = NP | Questionne l’équivalence entre problèmes faciles à résoudre et faciles à vérifier. | Informatique théorique, algorithmique | Stephen Cook (1971) |
| 7 | Conjecture de Poincaré | Caractérisation topologique de la sphère en dimension 3. | Topologie | Henri Poincaré (1904) |
N°1 : L’hypothèse de Riemann, un problème mathématique non résolu
David Hilbert en avait fait en 1900 le huitième problème de sa liste de problèmes présentés au Congrès des mathématiciens de Paris. Cent ans plus tard, le Clay Mathematics Institute l’inclut à la liste des "problèmes du millénaire".
de dollars est offert à qui parviendra à démontrer cette hypothèse (et d'autres). (1)
Serait-ce une raison de plus pour prendre des cours de mathset vous perfectionner, pour peut-être un jour résoudre ce problème appelé aussi "Le Graal des Mathématiciens" ?
En 1859, Bernhard Riemann publie un article intitulé "Sur le nombre des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée", sans savoir qu’il allait poser ici la question la plus compliquée de l’histoire des mathématiques.
Cette conjecture porte sur une question à laquelle tente de répondre les mathématiciens depuis plus de 2000 ans : l’origine des nombres premiers.
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Poursuivant les travaux de son professeur Gauss, l’allemand Riemann met à jour la fonction Zêta.
C'est à dire qu'en construisant un graphique à trois dimensions, il nomme les points qui redescendent "les points zéros" qui, selon lui, ont un lien avec les nombres premiers.
Les zéros non triviaux de cette fonction ont tous pour partie réelle ½.
Démontrer cette affirmation permettrait donc de découvrir, ou du moins d’aider à le faire, la répartition des fameux nombres premiers.
N°2 : La conjecture de Hodge, l’énigme mathématique par excellence
Appartenant aussi aux sept problèmes du Millénaire définis par l’institut Clay en 2000, la conjecture de Hodge réunit plusieurs compétences mathématiques qui n’avaient à priori pas de lien : la topologie algébrique, la géométrie algébrique…
Selon une définition dérivée de celle de l’institut Clay, cette conjecture stipule que sur les variétés projectives complexes (des types d'espaces topologiques particuliers), les objets nommés classes de Hodge sont des combinaisons linéaires à coefficients rationnels de classes associées à des objets géométriques nommés sous-ensembles algébriques. Rien que ça !
Claire Voisin, mathématicienne française et médaillée d'or au CNRS, travaille sur cette hypothèse. Selon elle, sa démonstration serait un vrai trésor mathématique.
Dans une interview donnée à La Recherche, elle résume la conjecture de Hodge en expliquant qu’elle part d’un type d’objets, appelés variétés projectives complexes, qui sont des ensembles de points dans un ensemble projectif définis par des contraintes "polynomiales".
Plutôt complexe, non ?
Il ne s’agit peut-être pas du problème le plus difficile à résoudre, mais certainement du plus compliqué à comprendre, tant les connaissances en mathématiques que sa compréhension nécessaires sont poussées. Il est question, entre autres, de géométrie qu’on ne peut pas visualiser.
Une énigme à approfondir en cours particuliers maths :
N°3 : La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, un mystère non résolu
Pour la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, il est question d’équations algébriques, que vous avez sûrement étudiées durant vos cours de maths.
Néanmoins, il vous faudra sûrement un certain niveau en mathématiques avant de pouvoir tenter de résoudre cette conjoncture.
Elle tend à définir le nombre de points remarquables sur des courbes dites elliptiques.
Il est déjà compliqué de déterminer les solutions d’une équation polynomialeP(x,y)=0 où x et y seraient des nombres rationnels.
Cette conjecture rapporterait aussi un million de dollars à celui ou celle qui viendrait la résoudre, en tant que problème du millénaire. Elle complexifie la question en prédisant que le rang dépend uniquement de la donnée du nombre de solutions de l’équation pour tout nombre premier P.
N°4 : Les équations de Navier-Stokes, un problème mathématique jamais résolu
Ici, il est question de physique et de mécaniques des fluides.
Moins célèbre qu’E=MC2, les équations de Navier-Stoke qui fascinent autant les physiciens que les mathématiciens, visent à décrire le mouvement des fluides ou plus précisément son champ de vitesse.
Il s’agit d’équations différentielles non-linéaires.
Elle sont utilisées très souvent alors que leur solution n’est pour le moment pas trouvée ! En effet, elles servent en outre à mieux appréhender les mouvements des courants dans les océans.
Que vous ayez des compétences en mathématiques ou en physique-chimie, démontrer les équations de Navier-Stoke vous permettrait de remporter le fameux prix de l’institut Clay et de devenir le deuxième à résoudre l’un des sept problèmes du Millénaire. Pour consolider vos bases, vous pouvez aussi suivre des cours de math en ligne.
N°5 : Les équations de Yang-Mills, un problème du millénaire
Les équations de Yang Mills traitent de la théorie des champs basée sur la notion d’invariance de jauge qui sert à décrire les champs de force fondamentaux.
Afin d’expliquer l’infiniment petit, Yang et Mills ont tenté de décrire les particules élémentaires en construisant un modèle basé sur des théories géométriques.
Leur théorie, qui dit que certaines particules quantiques ont une masse positive, a été vérifiée par de nombreuses simulations sur ordinateurs.
Découverte de façon expérimentale par les deux physiciens, elle n’est toujours pas prouvée à ce jour d’un point de vue théorique.
N°6 : Le problème P=NP, un calcul impossible à résoudre
L’enjeu de ce problème du millénaire est sûrement le plus important de tous.
En effet, de sa résolution découlerait certainement celle des autres problèmes, tandis que le contraire impliquerait qu’ils resteraient sûrement insolvables…
Dans P=NP, on appelle P le problème qui consiste à trouver une liste d’éléments dans un ensemble donné.
Lié de près au fonctionnement des ordinateurs et des algorithmes, on pourrait traduire littéralement ce problème par la question suivante : "Pouvons-nous trouver grâce à un calcul intelligent ce que nous pouvons trouver en ayant de la chance ?".
Parviendrez-vous à répondre à cette question, pour le moment sans réponse ?
N°7 - La conjecture de Poincaré, un problème résolu en 2003
S'il y a un nom que tout étudiant en mathématiques doit connaître, c'est celui d'Henri Poincaré. À l'aube du XXe siècle, ce génie français a formulé une question fondamentale sur la topologie (l'étude des déformations des formes) : comment reconnaître une sphère d'un autre objet ?
La topologie est souvent appelée la "géométrie du caoutchouc". Dans ce domaine, une tasse de café et un donut sont considérés comme identiques car ils possèdent tous deux un seul trou.
La Conjecture de Poincaré2 postule que la sphère à trois dimensions est la seule variété fermée de dimension 3 ne possédant aucun trou. En termes simples : si vous entourez un objet d'un élastique et que vous pouvez le resserrer en un point sans déchirer l'objet ou l'élastique, alors cet objet est une sphère.
Formulée en 1904, cette conjecture était le point de départ pour comprendre la forme de notre Univers. Si la conjecture est vraie, elle permet de caractériser mathématiquement l'espace physique dans lequel nous évoluons.
Après un siècle de recherches infructueuses par les plus grands experts, c'est le mathématicien russe Grigori Perelman qui a publié la solution entre 2002 et 2003. Fait unique dans l'histoire des sciences : pour résoudre ce problème de topologie, il a utilisé des outils issus de l'analyse et de la physique (le flux de Ricci).
La résolution de la Conjecture de Poincaré est aussi célèbre pour son dénouement humain. Fidèle à ses principes et vivant en ermite, Grigori Perelman a refusé la Médaille Fields (l'équivalent du Nobel en mathématiques) en 2006, puis le prix d'un million de dollars de l'Institut Clay en 2010. Il a déclaré que sa contribution n'était pas plus grande que celle de l'Américain Richard Hamilton, qui avait ouvert la voie. Un cas unique de désintéressement total dans le monde académique !
Autres problèmes mathématiques non résolus
Si les problèmes du prix du millénaire captent souvent toute l'attention, l'univers des mathématiques regorge d'autres énigmes fascinantes. Certaines datent de l'Antiquité, d'autres semblent être des jeux d'enfants, mais toutes partagent un point commun : elles résistent encore aux plus grands cerveaux de la planète.
Le problème des bœufs d’Hélios
Bien loin des équations modernes, ce problème nous vient de la Grèce antique. Il ne s'agit pas de "résoudre" au sens moderne (car on sait comment faire), mais de l'incapacité humaine et matérielle à traiter l'immensité de sa réponse.
Le nombre total de bêtes est un chiffre colossal d'environ 206 544 chiffres. Si vous vouliez l'écrire, il vous faudrait des kilomètres de papier (et un sacré bout de temps) ! Le défi aujourd'hui réside dans le calcul de variantes encore plus complexes via l'informatique de pointe.
Ce problème est resté mathématiquement insoluble pendant plus de 2000 ans, tout simplement parce que les outils de calcul logarithmique n'existaient pas encore.
Le problème des huit dames
Ce qui ressemble à un simple casse-tête pour amateurs d'échecs est en réalité un défi algorithmique majeur qui passionne les chercheurs en informatique.
En 2021, des chercheurs ont réussi à prouver mathématiquement le nombre de solutions pour des valeurs de n extrêmement grandes, mais la formule exacte pour n'importe quel n reste l'un des Graals de la combinatoire.
Les nombres de Ramsey
Le théoricien des graphes Frank Ramsey a démontré qu'un désordre complet est impossible. Pourtant, calculer précisément ce "seuil d'ordre" est une tâche herculéenne.
Le mathématicien Paul Erdős disait avec humour : "Si une entité supérieure demandait la valeur de R(5,5) sous peine d'anéantir la Terre, nous devrions mobiliser tous nos ordinateurs. Mais si elle demandait R(6,6) , nous ferions mieux de l'attaquer en premier."
✅ La Conjecture de Poincaré : RÉSOLUE par Grigori Perelman (2003).
❌ L’Hypothèse de Riemann : Le Graal de la théorie des nombres.
❌ La Conjecture de Hodge : Le pont entre géométrie et topologie.
❌ La Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer : L'énigme des courbes elliptiques.
❌ Les Équations de Navier-Stokes : La clé de la dynamique des fluides.
❌ Les Équations de Yang-Mills : Le mystère de la physique des particules.
❌ Le Problème P=NP : La question ultime de l'informatique théorique.
Sources
- Clay Mathematics Institute. Clay Mathematics Institute, 2024. Disponible à https://www.claymath.org/. Consulté le 15 janvier 2026.
- Nasar, Sylvia, et David Gruber. "Manifold Destiny: A Legendary Problem and the Battle over Who Solved It." The New Yorker, 21 août 2006. Disponible à https://www.newyorker.com/magazine/2006/08/28/manifold-destiny. Consulté le 15 janvier 2026
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