L’histoire des mathématiques compte de grands noms au fil des siècles. Pythagore, Thalès, Newton, Archimède ou encore Euclide. Grand mathématicien de l’Antiquité, ce dernier a su regrouper tous les savoirs de son époque en seul ouvrage : Éléments.
Deux mille trois cents ans après sa mort, ses théorèmes se retrouvent encore dans lescahiers de tous les collégiens de France. Euclide d'Alexandrie n'a peut-être pas inventé toutes les mathématiques qu'on lui attribue, mais il leur a offert quelque chose de plus rare : une méthode.
Retour sur l'un des héritages scientifiques les plus durables de l'humanité.
Euclide Naissance et mortVers 325 av. J.-C. — vers 265 av. J.-C. (dates approximatives, non confirmées avec certitude par les historiens)
MétiersMathématicien, Enseignant, Auteur scientifique
NationalitéGrecque
Idées remarquablesSystématisation de la géométrie plane et spatiale, Formulation des cinq postulats fondateurs, Théorie des nombres premiers (démonstration de leur infinité), Algorithme de calcul du PGCD, Méthode axiomatique et déductive de démonstration
InfluenceModèle de rigueur scientifique, diffusé du monde arabe à l'Europe
HéritageLes Éléments et la géométrie euclidienne, toujours enseignés aujourd'hui
Qui était Euclide ? Une biographie en contexte
Avant d'explorer ses apports mathématiques, un bref détour par sa vie permet de mieux comprendre le contexte dans lequel il a travaillé.
Euclide d'Alexandrie : ce que l'on sait de sa vie
Tout comme pour ses prédécesseurs Pythagore et Thalès, l’histoire d’Euclide n’est pas très documentée. Seuls quelques écrits datant de plusieurs années après sa mort ont été retrouvés et permettent de capter quelques brides de ce qu’a pu être la carrière du mathématicien.
Euclide aurait vécu à Alexandrie vers le IIIe siècle avant notre ère, probablement sous le règne de Ptolémée Ier. Les informations biographiques précises restent extrêmement limitées : aucune date de naissance ou de mort n'est établie avec certitude, et aucun portrait contemporain ne nous est parvenu.
On sait qu'Alexandrie abritait alors le célèbre Musée, un centre d'études rassemblant savants et penseurs venus de tout le monde méditerranéen. C'est dans ce contexte intellectuel foisonnant qu'Euclide aurait exercé son activité de mathématicien et d'enseignant.
L'essentiel de ce que nous connaissons de lui provient... de ses propres œuvres. Contrairement à d'autres figures de l'Antiquité, aucune anecdote fiable ni témoignage direct de contemporains n'a survécu jusqu'à nous.
Euclide, auteur ou compilateur ?
Une question mérite d'être posée avec honnêteté : Euclide a-t-il inventé les résultats qu'on lui attribue ?
📚 Il a sélectionné des connaissances mathématiques antérieures, développées par des générations de savants grecs.
🔗 Il a réorganisé ces résultats disparates en un ensemble cohérent.
📐 Il a construit une progression logique, allant du simple au complexe.
✍️ Il a présenté les démonstrations dans un cadre axiomatique rigoureux.
Son génie réside donc moins dans la découverte de vérités mathématiques inédites que dans leur mise en ordre systématique : un travail qui, à lui seul, justifie sa place dans l'histoire des sciences1.
Contrairement à ses aînés, Euclide ne crée pas d’école de mathématiques. Cependant, le scientifique devait certainement avoir plusieurs élèves et disciples autour de lui afin d’enseigner toutes les connaissances et savoirs qu’il possédait, mais aussi afin qu’ils l’aident dans ses expérimentations.
Les œuvres attribuées à Euclide
Les Éléments constituent, de loin, l'œuvre la plus célèbre et la mieux conservée. Plusieurs autres ouvrages lui sont traditionnellement attribués, comme les Données ou l'Optique, mais leur authenticité et leur contenu restent secondaires face à l'ampleur des Éléments qui aurait été rédigé vers 300 avant J.-C.
local_printshopDeuxième livre le plus imprimé après la BibleLes Éléments d’Euclide sont traditionnellement considérés comme l’ouvrage le plus publié après la Bible depuis leur première édition imprimée en 1482, avec plus de mille éditions au total2.
« Eléments », réparti en 13 livres, est consacré essentiellement à la géométrie plane et à l’arithmétique. Triangles, droites parallèles, cercles, Euclide y fait des démonstrations de théorèmes (dont le théorème de Pythagore) et introduit les notions de PGCD (plus grand commun diviseur) et de soustractions successives répétées, aussi appelées divisions euclidiennes.
Les connaissances d’Euclide se basaient sur les savoirs déjà acquis par les grands mathématiciens de l’Antiquité.
À cette époque, les sciences font le tour de la Grèce et influencent un bon nombre de scientifiques. Les découvertes d’Euclide et de ses contemporains continuèrent d’inspirer les sciences bien longtemps après sa mort supposée en -265 av J.-C. à Alexandrie.
Les Éléments d'Euclide : l'ouvrage fondateur
Bien qu’il en ait rédigé d’autres, « Eléments » est le livre principal d’Euclide. Grand succès scientifique, le mathématicien répertorie dans cet ouvrage, toutes les démonstrations des savoirs géométriques connus jusqu’à lui.
Que sont les Éléments ?
Les Éléments forment un ensemble de 13 livres couvrant la géométrie plane, la géométrie dans l'espace, la théorie des nombres, les proportions, les constructions géométriques et les polyèdres réguliers.
Il ne s'agit pas d'un simple manuel de calcul, mais d'une véritable synthèse démontrée : chaque proposition découle logiquement des précédentes3.
- Ces premiers livres permettent de mettre en place les bases de la géométrie en rappelant les caractéristiques des figures et en y appliquant dans démonstrations.
- Les trois livres qui suivent ne traitent plus de géométrie plane mais d’arithmétique. Euclide y parle alors de nombres premiers, de la construction du plus grand diviseur entier commun à deux ou plusieurs entiers, des nombres en progression géométrique, de la construction des nombres parfaits.
- C’est aussi dans ces livres que le scientifique introduit le procédé par soustractions successives répétées, aussi appelé division euclidienne.
- Le dixième livre est dédié, lui, aux quantités irrationnelles.
- Les trois derniers livres sont quant à eux consacrés à la géométrie dans l’espace. On y voit la construction d’objets comme la sphère, les solides réguliers, la pyramide, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre, etc.
D’autres livres ont été greffés plusieurs siècles après l’édition d’Euclide. Ceux-ci ont donc été écrits par de nouveaux mathématiciens qui y ont ajouté des chapitres sur les polyèdres réguliers.
Tous les livres d’ « Eléments » posent les bases des mathématiques comme elles sont encore enseignées aujourd’hui. Géométrie plane, géométrie de l’espace, arithmétique, font partie des cours de maths donnés au collège.
De quoi faire d’ « Eléments » une vraie bible des maths. L’ouvrage a longtemps été considéré comme LA référence du monde mathématique avant d’être rediscuté quelques siècles plus tard. Toutes les informations données par « Eléments » sont une sorte de photographie de la représentation du monde physique de l’époque.
La structure des treize livres
| Livres | Thèmes principaux |
|---|---|
| I à IV | Géométrie plane, triangles, parallèles, cercles et polygones |
| V | Théorie générale des proportions |
| VI | Proportionnalité et figures semblables |
| VII à IX | Théorie des nombres, nombres premiers et proportions |
| X | Grandeurs et irrationnels |
| XI à XIII | Géométrie dans l’espace et polyèdres réguliers |
Pourquoi les Éléments ont-ils autant influencé les mathématiques ?
La série "Les Eléments" ont autant influencé les mathématiques pour quatre raisons très simples :
🎯 Une progression logique : chaque livre s'appuie sur les acquis du précédent.
📏 Des définitions précises : chaque objet mathématique est clairement délimité avant d'être manipulé.
🧩 Des hypothèses explicites : rien n'est admis sans être énoncé au préalable.
🔁 Des démonstrations reproductibles : n'importe quel lecteur peut vérifier chaque étape du raisonnement.
Cette structure a fait des Éléments le modèle de référence pour toute construction scientifique rigoureuse pendant plus de deux mille ans.
La géométrie euclidienne : la contribution la plus célèbre d'Euclide
C'est sans doute l'apport le plus connu du grand public, celui qu'on étudie encore aujourd'hui sur les bancs de l'école.
La définition de la géométrie euclidienne
La géométrie euclidienne désigne l'ensemble des principes fondés sur les Éléments, applicables dans l'espace et le plan usuels. Elle repose sur des objets fondamentaux : points, droites, segments, angles, triangles, cercles, parallèles, figures planes et solides.
Les résultats géométriques majeurs
Si Euclide n'a pas nécessairement découvert personnellement chacun de ces résultats : il en a proposé, en revanche, la démonstration la plus rigoureuse et la plus durable.
Le théorème de Pythagore
Les propriétés des triangles et des droites parallèles
Les notions de similitude et de proportionnalité entre figures
Les constructions à la règle et au compas
Les propriétés des cercles et des polygones réguliers
La portée de la géométrie euclidienne
Cette géométrie a trouvé des applications concrètes en architecture, en cartographie, en astronomie et en mécanique durant des siècles. Elle demeure aujourd'hui la base de l'enseignement des mathématiques dans le monde entier, du collège jusqu'aux premières années d'études supérieures.
Les postulats et les axiomes d'Euclide
Toute la construction des Éléments repose sur un petit nombre de principes de départ, admis sans démonstration.
Qu'est-ce qu'un axiome mathématique ?
Un axiome est un principe admis comme point de départ d'un raisonnement, sans nécessiter de démonstration. Il convient de distinguer plusieurs notions :
Définition : description précise d'un objet mathématique
Axiome / notion commune : vérité générale admise sans preuve
Postulat : principe propre à une théorie donnée
Théorème : résultat démontré à partir des axiomes et postulats
Démonstration : raisonnement logique établissant la validité d'un théorème
Les cinq postulats d'Euclide
Dans son ouvrage « Eléments », Euclide donne plusieurs postulats : des propositions mathématiques qui sont évidentes. C’est à partir de là que le monde mathématique choisit d’appeler « postulat » toute règle mathématique logique et élémentaire.
Euclide en cite cinq dans son ouvrage :
Premier postulat
Par deux points, il passe une droite.
Deuxième postulat
Tout segment peut être prolongé autant qu'on le souhaite.
Troisième postulat
De tout point, on peut tracer un cercle de n'importe quel rayon.
Quatrième postulat
Tous les angles droits sont égaux.
Cinquième postulat
Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu'une seule parallèle à cette droite
Ce dernier point, connu comme le postulat des parallèles, mérite une attention particulière tant il a suscité de débats mathématiques.
add_locationPostulats ou axiomes ?Du point de vue d’Euclide et de la terminologie historique, ce sont des postulats.
Du point de vue des mathématiciens modernes, ce sont aussi des axiomes de la géométrie euclidienne.
Pourquoi le cinquième postulat est-il particulier ?
Contrairement aux quatre premiers, sa formulation est nettement plus complexe. Pendant des siècles, de nombreux mathématiciens ont tenté de le démontrer à partir des quatre autres postulats, sans succès.
Ce n'est qu'au XIXe siècle que Lobatchevski, Bolyai puis Riemann ont démontré qu'on pouvait construire des géométries entièrement cohérentes en remplaçant ce cinquième postulat, donnant naissance aux géométries non euclidiennes, utilisées aujourd'hui notamment dans la théorie de la relativité générale d'Einstein4.
Il serait anachronique d'attribuer à Euclide une quelconque anticipation de ces développements : il s'est contenté d'énoncer ce postulat comme une évidence géométrique de son époque.
Les contributions d'Euclide à la théorie des nombres
Moins connue que sa géométrie, la dimension arithmétique des Éléments mérite pourtant qu'on s'y attarde.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Le Livre IX des Éléments contient une démonstration devenue célèbre : celle de l'existence d'une infinité de nombres premiers.
Le plus grand commun diviseur
L’algorithme d’Euclide est aussi enseigné en cours de mathématiques puisqu’il s’agit du fameux P.G.C.D. Aussi appelé le plus grand dénominateur commun, le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers.
Pour le trouver, il est nécessaire de faire la liste de tous les diviseurs des deux nombres que l’on souhaite. Saurez-vous trouver le PGCD de 10 et 26 ?
- 10 : 1, 2, 5, 10.
- 26 : 1, 2, 13.
Le plus grand commun diviseur est donc le chiffre 2. Des principes mathématiques que vous pouvez découvrir lors de cours de maths seconde !
Afin d’éviter de devoir faire toute la liste des diviseurs pour chaque nombre, l’algorithme d’Euclide consiste à réaliser une suite de divisions euclidiennes.
Ainsi, il suffit de diviser le plus grand nombre par le plus petit puis d’effectuer la division jusqu’à ce qu’on tombe sur un reste égal à 0, ou reste nul. Dans une division de A par B, on continue alors avec une division de B par R (le reste de la première division), et ainsi de suite.
L’algorithme d’Euclide est expliqué dans le livre 7 des Éléments. Euclide présente d’abord ses recherches comme un problème géométrique. Il cherche alors à trouver une unité de mesure pour deux segments. Pour se faire, il décide de soustraire le plus petit segment au plus grand et de continuer jusqu’à trouver la mesure idéale.
Le PGCD sert à plusieurs usages pratiques :
✂️ Simplifier une fraction à son expression la plus réduite
🔍 Étudier les propriétés de divisibilité entre deux nombres
🧮 Résoudre certains problèmes arithmétiques classiques
🤝 Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux
La division euclidienne
Dans le grand chapitre de l’arithmétique, la division euclidienne est certainement l’une des compétences mathématiques que l’on nous enseigne très tôt. Il s’agit tout simplement de la division que l’on pose à la main quand on est au primaire.
Appelée aussi division entière, elle est composée de deux entiers naturels nommés dividende et diviseur, ainsi que de deux autres entiers : le quotient et le reste.
Pour deux entiers a et b, avec b ≠ 0, il existe un quotient q et un reste r tels que :
a = bq + r, avec 0 ≤ r
Exemple : 47 = 6 × 7 + 5
Il faut noter que la formulation scolaire moderne de la division euclidienne, telle qu'enseignée aujourd'hui, ne doit pas être présentée comme un résultat isolé inventé tel quel par Euclide : elle constitue une reformulation postérieure de principes présents dans les Éléments.
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L'algorithme d'Euclide
Cet algorithme permet de calculer le PGCD de deux nombres par divisions successives.
Exemple : PGCD de 252 et 105 :
- ▶️ 252 = 2 × 105 + 42
- ▶️ 105 = 2 × 42 + 21
- ▶️ 42 = 2 × 21 + 0
Le dernier reste non nul étant 21, on obtient PGCD(252, 105) = 21.
no_encryptionUn algorithme encore utilisé en cryptographieCet algorithme, vieux de plus de deux mille ans, reste utilisé aujourd'hui en informatique et en cryptographie, notamment dans les systèmes de chiffrement comme le RSA, où le calcul rapide de PGCD entre grands nombres est essentiel.
La méthode de démonstration d'Euclide
Au-delà des résultats eux-mêmes, c'est la façon de les établir qui constitue l'apport le plus durable d'Euclide.
De la définition à la démonstration
La méthode euclidienne suit une progression stricte :
Définir précisément les objets étudiés
Poser les principes de départ (axiomes et postulats)
Établir des propositions à démontrer
Démontrer rigoureusement chaque résultat
Utiliser les résultats acquis pour progresser vers des propositions plus complexes
Une organisation déductive des connaissances
Les propositions des Éléments ne forment pas une simple liste de formules isolées : elles sont reliées entre elles selon une logique de dépendance. Chaque nouveau résultat s'appuie explicitement sur des éléments démontrés auparavant, créant un édifice mathématique cohérent.
L'influence sur l'enseignement et les sciences
Cette approche a durablement marqué la rédaction des manuels scientifiques, la formalisation des sciences en général, la géométrie moderne et la logique mathématique. L'idée même de preuve comme critère de validation d'un résultat, aujourd'hui centrale dans toutes les sciences exactes, doit beaucoup à cette méthode.
Euclide, Apollonius de Perga et les sections coniques
Un nom revient souvent aux côtés de celui d'Euclide, au risque de créer une confusion qu'il convient de dissiper.
Qui est Apollonius de Perga ?
Apollonius de Perga est un mathématicien grec né environ un siècle après Euclide, actif également à Alexandrie. Il est principalement connu pour ses travaux approfondis sur les sections coniques.
Que sont les sections coniques ?
Les sections coniques désignent les courbes obtenues par l'intersection d'un plan avec un cône : le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Ces figures géométriques ont des applications majeures en astronomie et en physique.
Quelle différence entre les contributions d'Euclide et celles d'Apollonius ?
| Critère | Euclide | Apollonius |
|---|---|---|
| Contribution principale | Fondements axiomatiques | Étude approfondie des coniques |
| Champ d'étude | Géométrie plane et spatiale | Propriétés des courbes coniques |
| Autre domaine | Théorie des nombres | Applications à l'astronomie |
Il est important de ne pas confondre ces deux apports : Euclide a posé les fondations méthodologiques des mathématiques grecques, tandis qu'Apollonius a exploré un domaine géométrique précis, en s'appuyant justement sur les outils légués par son prédécesseur.
Pourquoi la contribution mathématique d'Euclide reste-t-elle importante ?
Plus de deux mille ans après sa rédaction, l'œuvre d'Euclide continue d'irriguer les mathématiques contemporaines.
Un héritage de plus de deux millénaires
Les Éléments ont été copiés, traduits et étudiés sans interruption depuis l'Antiquité. Diffusés dans le monde arabe médiéval, puis en Europe à partir de la Renaissance, ils ont façonné l'enseignement des mathématiques pendant plus de deux mille ans.
Des concepts toujours utilisés
Euclide est encore aujourd'hui très présent dans les concepts et manuels scolaires avec
La géométrie euclidienne
Enseignée dès l'école primaire
Le PGCD et l'algorithme d'Euclide
Des éléments indispensables en informatique
Le raisonnement axiomatique
Appliqué dans de nombreux domaines scientifiques
Les propriétés géométriques
Mobilisées en ingénierie et en architecture
Ce qu'Euclide n'a pas « inventé »
Il convient de conclure sur une nuance essentielle : Euclide n'est probablement pas l'inventeur de tous les résultats contenus dans les Éléments. Son apport majeur réside dans leur synthèse, leur organisation logique et leur démonstration rigoureuse.
Les notions modernes de calcul et la formulation scolaire actuelle de la division euclidienne ne doivent pas être projetées directement dans le contexte antique, elles résultent d'une longue évolution mathématique postérieure.
Sources
- Hubaut, Xavier. "Euclide d'Alexandrie." Cours de Mathématiques, xavier.hubaut.info/coursmath/bio/euclide.htm. Consulté le 1er septembre 2026
- “Euclid’s Elements: The Most Printed and Most Widely Studied Mathematical Work in History.” History of Information, www.historyofinformation.com/detail.php?id=327. Consulté le 1er septembre 2026
- "Euclide." Wikipédia, l'encyclopédie libre, fr.wikipedia.org/wiki/Euclide. Consulté le 1er septembre 2026
- Math93. "Euclide." Math93 — Histoire des Mathématiques, math93.com/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-articles/euclide. Consulté le 1er septembre 2026
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